Понятие «эвклидово пространство»

Возьмем трехмерное линейное место L= .

Определение 1.

Скалярным произведением 2-ух частей и места L именуется функционал , удовлетворяющий определенным свойствам:

. (1).

Обозначается скалярное произведение как либо .

Возьмем n-мерное линейное место , в каком заданы два вектора и .

Определение 2.

Скалярным произведением векторов и именуется число, равное сумме попарных произведений соответственных координат этих векторов.

. (2)

Проверим Понятие «эвклидово пространство», удовлетворяет ли (2) определению 1.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Аналогичным образом нужно инспектировать любые функционалы, претендующие на скалярное произведение. Возьмем место - квадрат интегрируемых функций

Определение 3.

Скалярным произведением функций и именуется интеграл произведения этих функций на отрезке

. (3)

Удовлетворяет ли выражение (2) условиям (1) предлагается проверить без помощи других.

Определение 4.

Место, в каком определено скалярное произведение, именуется эвклидовым, т. е. и Понятие «эвклидово пространство» – эвклидовы.

Аксиома 1.

Всякое эвклидово место нормировано.

Подтверждение.

Норма в эвклидовом пространстве задается как

Покажем, что введенная норма удовлетворяет трем условиям:

1) ;

2) ;

3) .

1. , как следует, .

2. Для проверки второго условия воспользуемся неравенством Коши-Буняковского:

. (4)

С учетом второго условия и (4) разглядим норму суммы:

.

3. = = .

Все три условия производятся. Аксиома подтверждена.

2. Скалярное произведение в трехмерном пространстве

Возьмем Понятие «эвклидово пространство» два вектора , .

Определение 5.

Скалярным произведением векторов в именуется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла меж ними:

, где . (5)

С учетом равенства запишем выражение (5)

. (6)

Покажем, что (5) также удовлетворяет условиям (1):

1) ;

2) =(аксиома 5, л. 2)= = ;

3) ;

4) .

ПРИМЕР 1.

Пусть под действием силы под углом к поверхности прямолинейно перемещено тело. При всем этом Понятие «эвклидово пространство» работа, выполненная силой, будет равна произведению длины пути на произведение модуля силы и косинуса угла (рис. 1). Потому что. , то . Работа есть скалярное произведение векторов силы и пути.

Аксиома 2.

Два вектора перпендикулярны , когда их скалярное произведение было равно нулю. .

Подтверждение.

Необходимость. Дано . Обосновать, что .

Из определения 5 следует, что = , как следует, .

Достаточность Понятие «эвклидово пространство». Дано . Обосновать, что .

. Тогда либо , либо . Так как рассматриваем не нулевые векторы, то .

Вывод!!! перпендикулярен хоть какому вектору.

3. Скалярное произведение векторов

Возьмем два вектора в , данных своими проекциями: , .

Скалярное произведение этих векторов

, т. к. это базовые векторы и , а , потому что . Потому

. (7)

4. Угол меж векторами, направляющие косинусы

Возьмем два вектора в , данных Понятие «эвклидово пространство» своими проекциями, – , . Из (5)

. (8)

Найдем углы меж вектором и базовыми векторами . Другими словами , , (рис. 2).

Аналогично найдем другие косинусы

. (9)

Определение 6.

Направляющим именуется косинус угла меж вектором и одним из базовых векторов. Единичный вектор может быть задан как .

Заключение

В лекции рассматривалось эвклидово место, математический и физический смысл скалярного произведения; исследовано понятие «направляющий косинус Понятие «эвклидово пространство»». Отметим:

- в эвклидовом пространстве место должно быть задано скалярное произведение;

- скалярное произведение есть число;

- два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0;

- угол меж векторами определяется их скалярным произведением и длинами векторов;

- единичный вектор можно задавать направляющими косинусами.

Литература

1. Бермант А.Ф. и др. Лаконичный курс математического анализа. – М.: Высшая школа Понятие «эвклидово пространство», 2001.

2. Ефимов Н.В. Лаконичный курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.

Лекция 8


ponimanie-osobennostej-protekaniya-stressa-v-processe-organizacii-deyatelnosti-obuchayushihsya-samoregulyaciya-psihicheskih-sostoyanij.html
ponimanie-postanovki-zadachi.html
ponimanie-priziva-i-vina.html